小议“换元法”的运用

摘要： “数值1”在一类有条件下最值的研究，灵活应用此思想和方法并迁移到一般的题型中，在处理此类问题时，发现效果很好，从而简化了解体的复杂性，形成了问题的规律性，增添了数学的趣味性.

关键词              条件    最值处理   1的乘法    1的除法

一 问题来源

   问题1（第20届“希望杯”试题）已知，则的最大值为____.

  问题2（苏教版课本）已知且，求的最小值为____________.

  问题3（2013浙江大学自主招生题）若，，求的最小值.

上述问题来源于参考文献[1]，文献中给出了一些比较特殊的解法，思路也清晰.本文从熟悉题型中研究方法，形成一类处理问题规律。上面的问题1是一道简单题，解题途径较广！但在问题2和3中，学生尝试不等式方法，方程思想，消元法解决，效果不好，本文是从课堂教学中由简单的题解中找出问题的共性，将解题方法和思想加以迁移，能解决一类型问题.

二 问题解决

在问题1中，学生都喜欢的解==

问到学生为何用这种解法，学生几乎答不出来，最后我和同学们一起回顾向量的知识，利用向量的知识解释：由于，记，所以得到，等号成立的条件是.这样解释就比较清楚了.

在问题2中，由于是在有条件下求最值，所以尝试用解题1的方法处理，令，则

1）当时，，所求的最大值为.

2）当时，，对分子再整体替换，然后用不等式得到，所以成立.

在问题3中,所求的和已知之间的最高次数相同，令，，当时，，当时，，其中的，所以得到，故

三 变式探索

对问题进行变式探索，是解决新问题的最有效方法，也是提升思维的一种有效手段，经过思考，得到如下几道模拟试题，研究后发现本质相同，问题1的方法迁移到此处理：

变式1若且，则的最小值为____.（答：）

分析：由于=，而所求的与条件具有互为倒数结构，能用问题1的思想方法处理，乘1后在展开，应用不等式得到结果，即：

变式2已知正数，则的最小值为______.（答：25）

分析：似乎没有和条件等式中互为倒数，但是可以做如下处理，即：，而把条件等价变形为，所以要求的原式为=成立

变式3已知正数且，则的最小值为_____.（答：）

分析：所求的分式可以简化最高次方，即

=，再将分子写成具有分母的结构，写成，原式.

变式4）已知满足，求的最小值为____.（答：4）

分析：本题没有条件，但是隐含条件，所以回归到问题1的解法.

变式5（江苏2015模）已知a,b为实数，若，则的最大值___(答：)

分析：本题的方法教多，可以用不等式，三角换原，方程思想等处理，当然也可以用问题2的解题通法处理. 令，显然都取正数时才能为最大，所以，当时，，，当时，原式，所以

变式6 (安徽06年高中联赛) 若，，求的最大值和最小值____________(答：9和1)

四 方法总结

如果给的条件和结论具有互为倒数且为一次的形式，往往可以直接用“数值1相乘”进行转，即形如：已知且，求的最小值问题，其中的已知均为正数.当条件变为最高次为二次形式，即已知，其中的已知均为正数，求（1）和（2）型问题时，通解方法为：把所求的式子变成和条件一样的次方，然后在对条件变为“数值1相除”的等价分式，从而处理，容易解决问题！

参考文献：

[1].范花妹。对一道自主招生考试题的研究[J]数学通讯，2015（1-2）.

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