教师个人专题研究（沈连春）

楚州中学“教师个人专题研究”的研究方案

姓  名	沈连春	性别	女	年龄	43
所在年级部	高三	所任学科	数学	职称	中一
电子邮箱				学历	本科
研究专题的题目	感受中学数学中反正法的魅力
专题的来源和研究意义	研究来源：传统教学模式下的教学方式过于单一 研究意义：让学生更好的学习，提高课堂效率
研究对象和 研究方法	研究对象：我校高中学生 研究方法：a. 调查法，b. 统计法， c. 行动研究法，d.分析法
研究过程	调查了解问题的存在 总结问题存在的原因 解决问题的方法
研究成果的表成方式	表达方式：论文形式
学校意见

 

【个人专题研究成果】

感受中学数学中反证法的魅力

楚州中学 沈连春

【摘要】反证法是在原条件下结论不成立，然后推理出与原条件相矛盾的结果，从而证明原假设不成立，原命题得证。反证法的运用可以有助于学生拓宽知识层面，让学生在反证法的多种教学策略中感受其应用价值。在高中数学教学中，教师应充分凸显反证法的优势，引导学生学会运用反证法有效解题，从而感悟反证法的迷人魅力。

【关键字】高中数学   反证教学   解题方法

传统教学模式下，数学题目通常使用正面直接的方法进行求解，这就导致了学生在做题时耗费时间多，做题难度大。针对这一现象，教师应当帮助学生通过假设、推导和验证结论等方法探寻反证法的应用过程，让学生能够明晰反证法的应用范围，学会适时切入命题角度，捕捉可行载体，从而在探求矛盾的进程中高效解题。

一、循序渐进，探寻反证法的应用过程

（一）假设，列出相反命题

假设是数学逻辑推理的必要前提，也是反证法的重要步骤，这一步骤的掌握有助于学生在学习过程中锤炼逻辑思维能力与解决问题的能力。因此，教师要注重对“假设”过程的应用，通过猜想与假设让学生明晰命题的条件与方向。

在“常用逻辑用语”这一章节的学习中，教师可以先让学生对问题进行假设，掌握命题假设的相关词汇，了解假设的方法和话术。否定性命题是逻辑命题中能够良好锻炼学生反证法的一种命题模式，上课时，教师先在黑板中写出题目“否定自然数a、b、c中恰有一个偶数时，该题目应如何进行假设”。这时学生可以思考和讨论在命题假设之前应先理解该命题所涉及的知识点，由已经学过的定理可知，自然数 a、b、c三个数的奇偶性有四种情况“全是奇数”“全是偶数”“有两个奇数、一个偶数”“有一个奇数、两个偶数”。因此，本题否定命题的假设就可以为“假设全是奇数或至少有两个偶数”，答案就可以轻而易举地得出了。

反证法在应用教学中的初步探索体现为“假设”。教师通过指导学生运用思维、想象对所研究的命题进行本质的猜测和规律的探索，有助于其形成对命题过程的可能性猜想和结论的尝试性理解，是引出解题步骤与思路的重要方法。

（二）推导，得出新的结论

推导的过程是根据已知定理，在演算和推理下得出结论的过程。教师应当借助推导这一特点，帮助学生感受推导过程的价值所在，让学生从逻辑推理中得出对问题新的认知与理解，从而明晰反证法对于数学解题能力的影响，并予以重视。

在“常用逻辑用语”这一节课的学习中，教师可以引用典型例题“一个三角形中不能有两个直角”让学生用反证法进行证明。在推导本命题之前，教师可以先给学生讲解反证法的概念与推导过程，让学生有大概的认知，然后鼓励学生自主进行推导。首先，学生通过思考可以先假设A、B、C中有两个角为直角，设A和B为90°；其次，推出命题中的矛盾“A+B+C=90+90+180”，与三角形内角和为180°的定理相矛盾；最后，学生可以观察出之前的假设并不成立，通过判断得出该命题的正确答案。教师通过指导学生推导命题的过程，可以提高学生的做题水平，促进高质量课堂的长久发展。

数学问题大多具有一定的抽象性，学生在理解的时候常常会感到艰涩难懂。而推导过程的应用，可以有效帮助学生挖掘数学问题中的抽象概念，教师通过指导学生深度剖析解题过程，可以使数学问题迎刃而解。

（三）结果，肯定原题正确

反证法的根本目标在于肯定题设而否定结论。若用正向推导方法求证结果会使数学命题失去了它本具有的特性，所以，教师要让学生学会如何在肯定原题正确的情况下验证结果，给学生灌输反证法中“否定之否定”的中心思想。

在“三角函数的图像与性质”这一节课的学习中，教师先对学生进行三角函数基本概念与性质的讲解，然后借助与本节相关的习题巩固理论知识。教师将题目“α、β都为锐角，且cosα/sinβ+cosβ/sinα=2 求证：α+β=π/2”写在黑板上，然后指导学生在“α+β≠π/2”的假设下，一共分为两种情况，分别是“α+β<π/2”和“α+β>π/2”，学生再引用正弦函数与余弦函数的基本性质和关系，就可以推算出以上两种情况的结果分别为“cosα/sinβ+cosβ/sinα>2”“cosα/sinβ+cosβ/sinα<2”都与已知条件“cosα/sinβ+cosβ/sinα=2 ”相矛盾，故假设不成立，从而反证原命题成立。

数学推导的目的在于得出结论与感知过程。反证法的应用使数学问题的求解过程变得更直观、便捷。另外，反证法作为数学常用的解题方法之一，具有否定性和真实性的特点，极为符合学生求解不等式、数列等抽象问题的解题需求。

二、躬身实践，探寻反证法的应用范围

（一）否定性，找到切入角度

否定性命题在高中阶段的学习中属于重难知识点，是数学考试的常出题型之一。教师通过帮助学生理解否定性命题的求解方法，从不同角度切入命题的求解技巧，从而达到解题时能够触类旁通的效果。

在“等比数列”这一节课的学习中，教师可以先对学生讲解否定性命题的形式，能让学生区分哪种题型属于否定性命题。接下来，教师就可以通过具有代表意义的否定性命题让学生掌握该种题型的解题套路。例如题目“设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，那么求证数列{Sn}不是等比数列”，本命题的求证中带有“不…”的字眼，符合否定性命题的要素，这时教师就可以先让学生进行反向假设，设数列{Sn}是等比数列，然后结合已知条件进行相应的计算，其计算结果与已知条件相矛盾，就可以反证出本题的答案。数列的反向求证属于高频考点，学生要学会灵活运用，保证数学课堂的质量。

反证法应用之广泛，在于其由矛盾判断命题的假设是否成立。因此，教师要整合“否定性”经典例题，这样有助于学生总结该类型数学问题的潜在规律，在做题时能够下意识地选择反证法进行问题的求解。

（二）存在性，证明结论合理

含有存在量词的命题称之为存在性命题，属于逻辑类命题的一种。教师通过指导学生求解“存在性”命题，可以帮助学生更好地增加做题量，丰富做题类型，运用该类型命题的反证解题方法去证明结论的合理性。

在“全称量词命题与存在量词命题”这一节课的学习中，学生可以从教材中观察到“存在”“有的”“有一个”等数学语言表示为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”。教师可以总结该类型题目的规律让学生理解存在量词命题的解题方法，倘若题目中已给出“∀x∈R，x2+x+1>0”，那么，运用反证法解题的第一步应当先将命题进行否定，即为“∃x∈R，x2+x+1≤0”。存在量词命题也可以为文字类的形式存在，即“所有的无理数都是实数”，该命题的否定就可以写作“有的有理数不是实数”。学生只有先掌握到命题否定的诀窍，才能够进行后续的问题推导，进而求证出合理的结论。反证法的应用无疑在高中阶段的教学过程中推动了高质量课堂的进程，教师应当聚焦反证法的教学策略。

存在性命题具有一定的客观规律，该命题的解法已在教学研究中日趋成熟。因此，教师在帮助学生掌握存在性命题的含义与规律时，也要不断进修提高自身的教学素养，为学生提供更加坚实可靠的教学环境。

（三）必然性，推翻假设矛盾

必然性命题的求证普遍带有“必然”字样，学生在求解时可以先对原命题进行否定假设，依据定理和含义，再推翻假设的矛盾，从而得出命题的结论。教师通过给学生讲解“必然性”命题的解题思路，有助于学生对该类型题目的掌握与深化。

在“点、线、面之间的位置关系”这一节课的学习中，教师可以让学生小组讨论三个要素的位置关系，并引用反证法证明“同一平面内,一条直线和两条平行线中的一条相交,也必然和另一条相交”。学生可以先在教材中寻找能够证明该命题的公理和定义，也可以在草稿纸上按已知条件画出三条线在同一平面的位置关系，然后再进行小组交流与讨论。不难发现，如果从正面去验证本命题会感觉无从下手，此时教师就可以融入反证法的解题思路，让学生先将直线A与平行线B、C中的B相交，再假设直线A与直线C不相交，那么直线A就与直线C相互平行，而已知条件中直线B又与直线C平行，所以直线A应当与直线B平行，这就与原命题相矛盾，所以假设不成立，即直线A必然与直线C相交。

反证法适用于“必然性”命题的求解。因此，教师要善于利用反证法的规律与特点，转换命题的求解方向，从反向角度出发推翻命题的假设矛盾，并在此过程中得出不同题型的不同解法。

三、匠心独运，探寻反证法的应用策略

（一）补充条件，找到逻辑依据

在反证法的学习中，不仅需要理解命题中逻辑规律，还需要找出命题中的逻辑依据—排中律和矛盾律。因此，补充条件是学习反证法的前提条件，教师要指导学生结合命题思路，补充必要条件，快速抓住命题中的逻辑依据。

在“不等式”这一节课的学习中，教师可以指导学生剖析命题中的隐性联系，寻找与命题相关的逻辑依据，并能够熟练地将这一技巧进行应用。在不等式这类的题目中，只有找到符合题目规律的逻辑依据，才能进行后续的求解，恰恰这一技巧不容易被捕捉，这时教师就可以帮助学生为不等式题目补充条件。如果题目中“和a+b”一定时，“积ab”一定有最大值；如果“积ab”一定时，则“和a+b”有最小值；那么此类问题的求解就可以通过反证方法转化为对“积ab”最大值或对“和a+b”最小值的求解。这是不等式题目在逻辑推导时常用的逻辑条件，学生将此定理转化为合适的条件代入到不等式的解题过程中，可以提高学生的解题能力，也有利于教师打造高质量课堂，加强课程的研讨。

补充条件有助于解题效率的提高，是一种极为有效的解题方法。教师要善于在数学题目中应用“补充条件”这一技巧，让学生能够熟知该方法的应用范围，并在命题的推导过程中进行反证。

（二）合理再现，捕捉可行载体

知识需要不断地巩固与运用。虽然反证法在教材内容中所占比重不多，但是基于反证法的高效快捷，教师可以捕捉适当的机会和载体，在讲解知识点时融入反证法的解题思维，这样不仅能够提高学生的反证意识，还能使教材内容多样化。

在“数列”这一章节的学习中，只有不断的巩固才能深化运用反证法解题的习惯。教师在本章节的学习中可以将等比数列和等差数列的相关题目进行分类归纳，这些题目要有代表性，能够让学生清楚地发现这些题目含有的固定解题模板。在学习等差数列时，教师可以让学生用反证法求证“1、√2，3不可能是一个等差数列中的三项”；在学习等比数列时，教师可以写出题目“设数列{an}的前n项和为{Sn}，且满足an=2-Sn（N属于自然数）”让学生用反证法证明数列{an}是等比数列。不仅如此，反正法的应用也涉及到不等式、函数、空间几何等多方面数学知识点。教师在讲解反证法时，可以有效借助教材中的各种载体，丰富反证法的应用层次，提高学生对反证法的应用意识。

在高中阶段的数学学习中，学生应从多角度、全方面看待反证法在教学生活中的应用，重视反证法带来的便利与好处，深刻感受该方法的基本思维与中心思想。在题目中合理再现反证法的解题思路，有助于学生形成辩证看待问题的思想。

（三）适当总结，学会探求矛盾

只有总结归纳才能推动知识的理解与掌握。在学生学习的过程中，教师要引领学生勤于总结、善于思考，让学生主动探求命题中的矛盾关系，激发学生的主观能动性，为学生更好地提高运用反证法的解题习惯与意识。

在“常用逻辑用语”这一节课的学习中，教师可以在课堂中适当总结，帮助学生梳理反证法的不同形式表现。教师可以用问答的方式，将反证法的应用类型用树状图表示，第一个节点填写反证法，从该节点纵向延伸出三个分支，分别为命题类型、否定形式、归谬类型。然后教师提问学生已经学过的命题类型有哪些，学生说出“否定性”“唯一性”“存在性”“必然性”，此时教师就可以将学生说出的这些类型写在命题类型的各个分支下方。其他两股分支也像上述方法一样相继填写出来，否定形式这一分支的填写内容应为“大于的否定形式为小于等于”“存在的否定形式为不存在”等，否定形式样式多变，教师应当鼓励学生尽可能多地思考出来，学生进行思考总结的过程也是形成知识储备的过程。最后归谬类型的分支则可以让学生填写在平时做题中遇到与定理、定义相矛盾的情形。

教师通过从适用于反证法的命题类型、常用的否定形式、常见的“归谬”类型这三方面着手，可以帮助学生归纳反证法在解决问题时的多种应用情况，从而让学生在具体问题中由浅入深地理解反证法的精髓。

反证法作为间接证明方法的一种，是高中阶段学生必须掌握的解题技能之一，其在否定性、存在性、必然性等命题的求解中具有不可或缺的地位。因此教师要不断探索反证法在教学过程中的应用，不断渗透反证法的应用价值与形成方法，让学生在教学实践中不断体会反证法在数学解题中的独特作用，从多角度感知与运用反证解题的方式方法，真正感悟其迷人的魅力，生发出对数学问题的浓厚情感。

参考文献：

[1]贾文宁.高中数学中的直接证明与间接证明探析[J] 考试周刊 2019.35

[2]雷紫同.浅谈“反证法”在高中数学的应用[J] 数学学习与研究 2018.18

[3]朱卫娟.运用反证法,发展数学思维能力[J] 数学大世界 2017.11

[4]张建权.高中数学中反证法的教学思考[J] 上海中学数学 2014.3