求集合问题的几个注意点 淮安市楚州中学
张步高

[摘  要] 集合是数学中最基本的概念之一，集合内容更是高中数学的基础内容，针对学习集合知识时，学生易忽略之外，本文拟结合教学实践来作一点探讨。

[关键词] 集合    元素    互异性    空集

 

集合是高中数学中一个重要的概念，它具有高度的抽象性和严谨性，在学习集合知识时，我们不仅要深刻理解集合的概念，掌握运算的技巧，还要解决好以下几个问题。

一、注意分清集合的代表元素

用描述法表示集合的一般形式为{x x 具有公共属性}，其竖线前面的x称为集合的代表元素。在解集合问题时，先要弄清该集合的代表元素是什么，否则就会陷入困境或误入歧途。

例1、若P={y y=x2+1,x∈R } ,Q={ y y=x2-1,x∈R }  则P∩Q=___________.

本题学生容易填Φ，原因是没能弄清集合中的代表元素，会误解成是求二次函数y=x2+1与y=x2-1的交点，事实上，P、Q表示的都是二次函数的值域，由P={y y≥1},Q={ y y≥-1 },知P∩Q=P,故填{ y y≥1,y∈R }.

例2、若A={y y=-2x2+3, x∈R },B={x y= , x∈R } ,则A∩B=__________.

本题学生会弄错集合中代表元素，以为集合A与集合B都是求函数的值域，其实，前一个求的是函数的值域，后一个求的是函数的定义域。

由A={y y≤3，y∈R },B={ x x ≥2，x∈R }，得A∩B={ x 2 ≤x≤3, x∈R } .

二、注意集合元素的互异性

集合元素的互异性就是集合中的元素各不相同，在解题中我们常常会忽略这一点，以致造成解题的错误。

例3、已知A={a},B={1,a2},A B,求不等式x2-2ax-3>0的解集。

错解：∵ A B

∴a=1或a= a2

∴a=1或a=0

当a=1时， x2-2ax-3>0的解集为{ x x<-1或x>3 }

当a=0时，x2-2ax-3>0的解集为{ x x<- 或x> }.

至此，不少同学认为大功告成，实际上由A B确定出的a=1或a=0能保证集合B的互异性吗？将a=1代入时会发现与集合的互异性矛盾，应舍去，将a=0代入可得B={1,0}，故所求不等式的解集为{ x x<- 或x> }。

在给出集合的运算或集合的关系，求待定字母时，容易产生与元素互异性相矛盾的增解，需要进行解题时的检验与反思，以确保解题的准确无误。

三、注意明确空集的特殊性

空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，具有以下一些性质：Φ A, Φ  A(A≠Φ) ，我们在求解集合问题时常常因忽略这些性质而造成求解错误，因此在解题中应引起高度重视。

例4、设A={x x2-4x+3=0, x∈R }   B={ x 2x2-ax+2=0, x∈R }, 若A∪B=A,求a的值。

解：∵A={ x x2-4x+3=0, x∈R }

    ∴A={1,3}

    ∵A∪B=A

    ∴B A

    将x=1代入方程2x2-ax+2=0得a=4

    此时B={1},满足B A

    将x=3代入方程2x2-ax+2=0得a=

    此时B={ ，3}不满足B A

至此不少同学会认为a的值为4，其实这个结果是不对的，因为B可能是Φ，即方程2x2-ax+2=0无实根，故由△<0，得-4<a<4, 也有B A符合题意（这是很容易忽略的），所以符合题意的a的值为-4<a≤4.

例5、设A={x x2-4x+3<0, x∈R },B={ x a<x<2a ,a∈R }若B∩A=B,求a的取值范围

错解：∵若B∩A=B，

     ∴B A

     又∵A={ x 1<x<3, x∈R }, B={ x a<x<2a ,a∈R }

    ∴

    ∴a的范围为[1, ].

 本题学生忽略了当a≤0时B=Φ的情况 ，所以本题a范围应是(-∞,0]∪[1, ].

四、注意树立以形助数的解题意识

抽象的集合问题通过图形的直观来加以表示，不仅可以准确地显示各个集合间的关系，有时各个集合的元素也随之确定下来，便于我们用形象思维实现解题。

例6、设∪={(x,y) x∈R,y∈R },A={(x,y) =1},B={(x,y) y=x+1}求CuA∩B

解：A= {(x,y) y=x+1,x≠1}它表示直线y=x+1去掉点(1,2)的全体点的集合。

如图1所示，易得CuA∩B={(1,2)}.

关于点集问题，常常可以将其转化为平面直角坐标系上的图形来加以研究，直观形象，简捷明了。

 

求集合问题的几个注意点