求圆、椭圆、双曲线、抛物线的切线方程，思路明确，但其计算量，往往令人“算而却步”，下面就上述四种曲线，来剖析它们切线方程的结构特征，以飨读者。
对于二次函数的切线方程我们是会求的，如求曲线y=px2（p≠0）在点(x0，y0)处的切线方程。斜率k= f’(x0)=2px0，由点斜式知：切线方程为y-y0=2px0(x-x0) = px·x0，即把原函数表达式中的y换成 把x2换成x·x0 .
而对于圆x2+y2=1在点(x0，y0)处的切线方程求法如下：设切点为(x0，y0)切线上一动点P(x,y)，由 ⊥ 知： · =0，所以有 整理得： ，即是把原方程中x2换成 ，y2换成 那么椭圆的切线方程在结构上也有这样的规律吗？求椭圆 （a>b>0）在点(x0，y0)处的切线方程。现在用函数的函数来求切线方程，不妨设切点T(x0，y0)是第一象限的点，则由 得y= ， 得：切线斜率为k= ，切线方程为y－y0= (x－x0)其中： = ，代入切线方程得：y－y0= （x－x0） a2y0y－a2y02=－b2x0x+b2x02 a2y0y+b2x0x=a2y02+b2x02两边同时除以a2·b2得： =1.惊人的妙合：椭圆的切线方程也是把x2换成阿x0·x，y2换成y0·y.
对抛物线来说开口向上、开口向下对应的是二次函数，上面已经证明，那么开口向左、向右的呢？以开口向右为例：求抛物线y2=2px(p>0)在点(x0,y0)处的切线方程。不妨设点(x0,y0)在第四象限，则y= 故 ，因而切线斜率为k= ，切线方程为 整理得： 即： 得y0y=px-px0+y02 y0y=p(x+x0)，切线方程的结构也为把平方项y2换成y0y，把一次项x换成 。最后来检验这种结构替换是否适用于双曲线，设双曲线 （a>0,b>0），点T(x0,y0)是双曲线上在第一象限内的一点，求在点T(x0,y0)处的切线方程。由原方程得 （因为在第一象限），求得 切线斜率 ，切线方程为 变形为 b2x0x－a2y0y=b2x02－a2y02两边同除以a2·b2得 ，也符合上述替换。
由上面的推导过程我们可以得到这样的定理：二次曲线（圆、抛物线、椭圆、双曲线）在点（x0,y0）处的切线方程为：把原方程中的二次项x2换成x0·x，y2换成y0·y；把一次项x换成 ，y换成 ，所得关于x、y的一次方程即为切线方程
现举三例来说明此定理的正确性及其作用
例一：过点P(－1,3)作圆C：(x－1)2＋(y－2)2=4的切线，切点为A、B，求直线AB的方程
分析：老方法是：因P、C、A、B四点共圆，新圆圆心（ ）即（0， ）半径r= ，则新圆方程为 ，两圆方程相减即得直线AB的方程：2x－y＋4=0。现在我们用上述定理来求直线AB的方程。圆方程化为x2－2x＋y2－4y+1=0，若切点为（x0,y0）则切线方程为：x0x－(x0＋x) ＋yy0－2y－2y0＋1=0整理得：(x－1)x0＋(y－2)y0－x－2y＋1=0，设点A坐标为(x1,y1)且切线过点(－1,3)得：－2x1＋y1－4=0，B点坐标(x2,y2)且过点(－1,3)得切线方程为－2x2＋y2－4=0。由这两个方程的结构再根据两点确定一条直线：点(x1,y1)(x2,y2)都在－2x＋y－4=0上，故过点A、B的直线方程为2x－y＋4=0两种方程结果一致。
例2：在抛物线y2=4x上求一点P，使点P到点A(－1,14)的距离最短
分析：设点P(x0,y0)，当抛物线在点P处的切线：y0y=2(x0＋x)与直线AP垂直时距离最短，故有 y03＋12y0－112=0 (y0－4)(y02＋4y0＋28)=0有y0=4故切点为（4，4），此时|AP|的最小值为5 。
例3：设点P为直线l：x=2上任意一点，过点P作椭圆 的切线，切点分别为A、B，求线段AB长的取值范围。
分析：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(2,y0)，则椭圆在点A处的切线方程为 ，代入点P(2,y0)得：x1+y0y1=1，同理椭圆在点B处的切线方程为 ，代入点P(2,y0)得：x2+y0y2=1，比较两个切线方程结构知：直线AB的方程为x+y0y=1，联立直线AB的方程与椭圆方程得 得
由|AB|2=(x1－x2)2＋(y1－y2)2=y02(y1－y2)2＋(y1－y2)2
=(y02＋1)[(y1＋y2)2－4y1y2]=
=4(y02+1)· =8 =8(1－ )2
由y02+2∈ 知 故AB2∈ ，因而 ≤|AB|<2
同行们，记住上面的定理了吗？它真是太妙了！
