浅谈由数思形在数学中的应用 淮安市楚州中学
李延飞

摘 要：数形结合是数学解题中的重要思想和方法.由数思形是数形结合思想在数学中的重要应用，从而体现出数形结合思想可以直观而形象地解决一些较为复杂的问题.

关键词：数形思想，结合，综合

数形结合是一种重要的数学思想，它是研究与解决数学问题的重要方法.把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，“由数思形”，“由形思数”，相互渗透，相互作用，根据条件与结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何背景，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起.充分利用这种结合，可以培养学生的观察能力，理解能力，创新能力，并且可以有助于学生开拓解题思路，从而起到优化解题途径的目的.勾股定理、黄金分割点的证明都是应用了这种方法.

由数思形是借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示.

1.应用数形结合思想讨论方程解的个数问题

对于含字母的方程 的问题，运用数形结合思想可以把问题看做为两个函数交点的横坐标的问题，特别是求方程解的个数时非常有效.

例1 判断关于 的方程 的实根个数.

X

Y

1-a

1-a

o

解析 构造函数 ，转化为：借助两个函数交点的横坐标问题求解.如图， 当 时， 是增函数且过 轴上的点 、 轴上的点 ，而 ，所以这两个函数图像必有两个交点.这时方程有两个解

当 时， 是减函数且过

图（1）

轴上的点 、 轴上的点 ，而 ，所以两个函数也有两个交点.这时方程也有两个解.

图（2）

所以，原方程有两个解.

例2 关于 的方程 有两个不同的

实根，求 的取值范围.

解析  构造函数 ， ，如图，       

则可以把问题转化为：借助以上两个函数交点的横坐

标问题求解，不难得到 .

2.数形结合在三角函数中的应用

y

x

0

图（3）

例3 解三角不等式组

解析  利用三角函数的图像或三角函数线（如图3）

求解,先求出一个周期上的解再写出全部.

解答 

由图得解集为：

注  三角函数图像和三角函数线，是处理三角函数值大小问题的两个有力武器，用好它会使解题简捷、高效.

3.数形结合在概率中的应用

利用数形结合解决概率问题，可以迅速的找到解题的切入点，提高解题速度.

例4 在区间 中随机地抽取出两个数，求这两个数的和小于 的概率.

E

A

O

B

C  D

F

y

x

解析  设从 中所取出的两个数分别为 ,

则 ,即样本空间的变化区域 是边

长为 的正方形，如图中的正方形 ,由题意知

,而满足此式即所求事件

发生的区域 是图中的阴影部分，

图（4）

，

故所求概率

例5 两人相约在 点到 点在某地会面，先到

G

者等候

另一人 分钟方可离去，试求这两人能会面的概率.

图（5）

解析 如图，以 分别表示两人到达时刻，建立直坐标系，则 ,两人能会面的充要条件是 ，可能的结果全体是边长为 的正方行里的点，记为 ,能会面的点的区域如图中的阴影部分 ，

故所求概率为

4.数形结合思想在平面向量中的运用

由于平面向量具有数与形的双重身份，因此，涉及到向量的长、所成角、平行、垂直等条件，可以联想到一些特殊的图形（如平行四边形、矩形、菱形、直角三角形、等边（或等腰）三角形、圆等）来处理，那么可以使向量问题变得简单化、直观化，达到快速解题的目的.

A

B

C

图（6）

例6 已知非零向量 与 满足 且 , 则 为什么三角形？

解析  ，可知

由向量的数量积的定义可知，

，得到 +

所以， ,其中 为 内角，则

故 为等腰三角形；

又由

综上所述，可知 为等边三角形.

5.数形结合在不等式中的应用

例7 已知实数 满足 .

求证:(1) ;

(2) .

分析 此题直接入手较为困难,将数合理转化为形后,数形结合根据圆与直线的位置关系考虑各量的几何意义来求解.

证明  (1) 可看作过半圆 上的点 和定点 的直线的斜率.

图（8）

图（7）

由图（7）可知 ( 分别为直线 的斜率), ,

    圆心到切线 的距离为

, (舍去负值),

   故 .

(2) 可看作斜率为 ,过半圆 上点 的直线在 轴上的截距.

由图（8）可知 , 的方程为 .

令 .

因为圆心到切线 的距离 ,

所以 ,.

综上所述  .

注  本题主要考查直线与圆的位置关系,根据题目作出图形,要特别注意定义域,运用数形结合思想,合理求解.

6.数形结合思想在集合题中的应用

集合中的文氏图能够清晰、准确生动地说明 等问题.在解题中应用文氏图解决，可以一目了然.

A

B

C

图（9）

例8 开校运动会时，高三（五）班共有 名同学参加比赛，有 人参加游泳比赛，有 人参加田径比赛，有 人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有 人，同时参加游泳和球类比赛的有 人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

解 设 ， ，

，同时参加田径和球类比赛的学生有 人，

作出符合题意的文氏图，由题意可知： ， ，

，则 ，得   .

因此，同时参加田径和球类比赛的有 人，只参加游泳一项比赛的有 人.

7.数形结合思想在解函数最值的应用

运用数形结合的思想方法求解，既可以使一些函数最值问题的解决简捷明快，同时也可以大大地开拓我们的解题思路.

例9 有三个新兴城镇，分别位于 三处，且 .今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 的垂直平分线上的 点处，建立平面直角坐标系如图；若希望点 到三镇的最远距离为最小，点 应位于何处？

分析 本题考察的就 点到三点 的距离 中的较大者，再求这较大距离中的最小值.

解  设 的坐标为

因为  ，

所以  当 ，即 时，

当 ，即 时，

12

x

y

5

O

12

P

图（10）

所以           

它的图象如图(10)所示，

所以当 时，函数 取得最小值，

此时点 .

8.数形结合思想在解析几何中的应用

例10 设抛物线 的焦点为 ，动点 在直线 上运动，过 作抛物线 的两条切线 ，且与抛物线 分别相切于 两点.

求：（1）求 的重心 的轨迹方程.

（2）证明 .

解  由题意可得出图（11）

O

A

B

P

F

图（11）

（1）设切点 坐标分别为 ，

所以切线 的方程为：

切线 的方程为：

解得 点的坐标为：

所以 的重心 的坐标为 ，

所以 ，由点 在直线 上运动，从而得到重心 的轨迹方程为：

（2）因为

由于 点在抛物线外，则

所以 

同理有

所以 .

 

在数学解题中，通过数与形的结合，能够有的方矢地帮助同学多角度、多层次地思考问题，养成发散思维的好习惯，培养学生转化的思维意识，提高学生的解题能力. 因此，中学数学教学中，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想，作为数学知识的精髓，作为将知识转化为能力的”桥”来学习研究和掌握应用.要将数形结合法运用于解题教学和解题实践作为解题方法的数形结合，实际上包括两方面的内容：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系用“数”的分析加以分析；另一方面对于数量关系的问题，分析其几何意义，找出其中所反映的“形”之间的关系,借助形的直观来解决.二者都是数形结合，不可偏废.